Punto crítico (matemáticas)

En el cálculo, un punto crítico de una función de una verdadera variable es cualquier valor en la esfera donde la función no es differentiable o su derivado es 0. El valor de la función a un punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, differentiable mapas entre R y R, y mapas de differentiable entre distribuidores de differentiable.

Definición para funciones variables solas

Un punto crítico de una función de una verdadera variable sola, (x) ƒ, es un valor x en la esfera de ƒ donde la función no es differentiable o su derivado es 0, (x) ƒ = 0. Cualquier valor en el codomain de ƒ que es la imagen de un punto crítico bajo el ƒ es un valor crítico de ƒ. Estos conceptos se pueden visualizar a través del gráfico de ƒ: a un punto crítico, el gráfico no confiesa la tangente o la tangente son una línea vertical u horizontal. En el último caso, el derivado es el cero y el punto se llama un punto inmóvil de la función.

Optimización

Por el teorema de Fermat, los máximos locales y mínimos de una función sólo pueden ocurrir a sus puntos críticos. Sin embargo, no cada punto inmóvil es un máximo o mínimo de la función — también puede equivaler a un punto de la inflexión del gráfico, en cuanto a (x) ƒ = x en x = 0, o el gráfico puede oscilar en la vecindad del punto, como en caso de la función definida por las fórmulas (x) ƒ = xsin (1/x) para x ≠ 0 y ƒ (0) = 0, al punto x = 0.

Ejemplos

Varias variables

En esta sección, se supone que las funciones sean lisas.

Para una función lisa de varias verdaderas variables, la condición de ser un punto crítico es equivalente a todos sus derivados parciales que son el cero; para una función en un distribuidor, es equivalente a su diferencial que es el cero.

Si la matriz de Arpillera a un punto crítico es no singular entonces el punto crítico se llama no degenerado, y los signos del eigenvalues de la Arpillera determinan el comportamiento local de la función. En caso de una verdadera función de una verdadera variable, la Arpillera es simplemente el segundo derivado, y la no singularidad es equivalente a ser distinto a cero. Un punto crítico no degenerado de una verdadera función sola variable es un máximo si el segundo derivado es negativo, y mínimo si es positivo. Para una función de variables n, el número de eigenvalues negativo de un punto crítico se llama su índice, y un máximo ocurre cuando todos eigenvalues son negativos (el índice n, la Arpillera está negativa claro) y mínimo ocurre cuando todos eigenvalues son positivos (cero del índice, la Arpillera está positiva claro); en todos otros casos, el punto crítico puede ser un máximo, mínimo o un punto de la silla (índice estrictamente entre 0 y n, la Arpillera es indefinida). La teoría del morse aplica estas ideas de la determinación de la topología de distribuidores, ambos de finitos y de la dimensión infinita.

Campo del vector del declive

En la presencia de Riemannian métrico o una forma de symplectic, a cada función lisa tiene que ver un campo del vector (el declive o campo del vector hamiltoniano). Estos campos del vector desaparecen exactamente a los puntos críticos de la función original, y así los puntos críticos son trayectorias inmóviles, es decir constantes del flujo asociado al campo del vector.

Definición para mapas

Para un mapa f differentiable entre R y R, los puntos críticos son los puntos donde el diferencial de f es un mapa lineal de la fila menos que n; en particular, cada punto es crítico si el m de Esta definición inmediatamente se extiende a mapas entre distribuidores lisos. La imagen de un punto crítico bajo f es un llamado un valor crítico. Se llama un punto al complemento del juego de valores críticos un valor regular. El teorema de Sard declara que el juego de valores críticos de un mapa liso tiene el cero de la medida.

Véase también



Buscar